確率の最大・最小はこう解く！｜整数関数の最大最小を図とフローで理解

• 整数関数の最大最小問題の基本的な解き方
• 確率の最大最小の解法
• 数列の和の最大最小の解法
• 具体的な2つの解法のステップ

\(n\;\)を3以上の自然数とする。さいころを振る操作を繰り返し、1の目が3回出たら操作を終了する。\(\;n\;\)回目に操作が終了する確率を\(\;P_n\;\)とするとき、\( \;P_n\; \)が最大となるときの\( \; n\; \)を求めよ。

\(n\;\)を3以上の自然数とする。さいころを振る操作を繰り返し、1の目が3回出たら操作を終了する。\(\;n\;\)回目に操作が終了する確率を\(\;P_n\;\)とするとき、\( \;P_n\; \)が最大となるときの\( \; n\; \)を求めよ。（例題再掲）

今回の問題に当てはめます

“あること”にあたるものは、”1の目が出ること”であるので

\(\;p\;\)　→　\(\;\frac{1}{6}\;\)

\(\;n-1\;\)回試行するので

\(\;n\;\)　→　\(\;n-1\;\)

ちょうど2回起こってほしいので

\(\;k\;\)　→　2

こうなります！

よって、\(\;n-1\;\)回までに1の目がちょうど2回でる確率は

\[ P={}_{n-1}C_{2}(\frac{1}{6})^2(\frac{5}{6})^{n-3}\]

\(\;{}_{n}C_{k}\;=\frac{n!}{k!(n – k)!}\)をつかうと

\[ {}_{n-1}C_{2}=\frac{(n-1)!}{2!(n – 3)!}\]

\[ P_n=\frac{(n-1)!}{2!(n – 3)!}(\frac{1}{6})^2(\frac{5}{6})^{n-3}\]

あとはこれを分数にして約分するだけ！

\[ \; \frac{P_{n+1}}{P_n}\;= \frac{\frac{n!}{2!(n – 2)!}(\frac{1}{6})^2(\frac{5}{6})^{n-2}}{\frac{(n-1)!}{2!(n – 3)!}(\frac{1}{6})^2(\frac{5}{6})^{n-3}}\]

\[ \; \frac{P_{n+1}}{P_{n}}\;= \;\;\frac{n}{(n – 2)}\;(\frac{5}{6})\]

\[ \; \frac{P_{n+1}}{P_n}\;= \;\;\frac{n}{(n – 2)}\;(\frac{5}{6})>1\]

となるとき

両辺に \(6(n-2)\)　をかけて

\[\;5n>6(n-2)\]

\[\;5n>6n-12\]

\[\;12>n\]

これのイメージを考えてみましょう

こんな感じですね！

逆に今度

\[ \; \frac{P(N+1)}{P(N)}\;= \;\;\frac{n}{(n – 2)}\;(\frac{5}{6})<1\]

となるとき

両辺に \(6(n-2)\)　をかけて

\[\;5n<6(n-2)\]

\[\;5n<6n-12\]

\[\;12<n\]

今度はこのイメージを考えてみましょう！

さっきとは、不等号の向きが逆なのに注意しましょう

こんな感じになります！！

ただ、今適当に\(\;n=13\;\)の棒を決めたんですけど

実際には、\(\;n=13\;\)の棒の情報は

• \(\;n=12\;\)の棒より高くない
• \(\;n=14\;\)の棒より高い

これだけです、だから

この二つの可能性があります！

こういう時には

\[ \; \frac{P_{n+1}}{P_n}\;= \;\;\frac{n}{(n – 2)}\;(\frac{5}{6})=1\]

を考えるんです！

この時、式を解くと

\(\;n=12\;\)となります！

この時のイメージは

もう図からわかりますね！

最大値は\(\;n=12,13\;\)のとき

<類題>

(1) 初項21、公差-4の等差数列{\(\;a_n\;\)}の初項から第n項までの和を\(\;S_n\;\)とするとき、\(\;S_n\;\)が最大となる\(\;n\;\)の値を求めよ。

(2) さいころを続けて100回投げるとき、1の目がちょうど\(\;n\;\)回出る確率を\(\;p_n\;\)とする。\(\;p_n\;\)が最大となる\(\;n\;\)の値を求めよ。

2.\(\;P(N)\; \)のグラフを調べる

1. \(\;P(N)\;\) を求める
2. 関数\(\;f(x)\;\)と捉えて、グラフを書く
3. グラフから最大、最小となる整数\(\;N\;\)を見つける