こんにちは！現役京大生のむぎといいます！
今回は、=kと置くグラフの最大・最小の問題を攻略していきます！！
このタイプの解法は、線形計画法と呼ばれています
2変数関数の最大最小ではよく出てくるのでマスターしましょう！！
この記事で得られる学び
この記事を読み切るころには次のような学びが得られているでしょう！
- 線形計画法(=kと置くグラフを使った解法)の使い方を例題を使って学ぶ
最大最小問題のどこを学ぶの？
線形計画法の問題の全体での位置です！
全体像を知りたい人はこちらのリンクからどうぞ！
例題
今回の例題です
\(\;x,y\;\)が3つの不等式\(\;3x-5y\geq-16\;\),\(\;3x-y\leq4\;\),\(\;x+y\geq0\;\)を満たすとき、\(\;2x+5y\;\)の最大値および最小値を求めよ。
重要度と難易度
| 重要度 | ★★★☆☆（3） |
| 難易度 | ★★★☆☆（3） |
重要度は普通です
ちょっと難しいので、ライバルと差をつけるため、
出題されたら確実に点が取れるよう、対策を学びましょう！！
解法ステップ
線形計画法の解法ステップを解説します！
- 不等式から領域\(\;D\;\)を図示
↓ - \(\;f(x,y)=k\;\)と置く
↓ - \(\;f(x,y)=k\;\)のグラフと領域\(\;D\;\)が共有点を持つような\(\;k\;\)の値の最大最小を求める
1つ1つ解説していくね
1.不等式から領域Dを図示
\(\;x,y\;\)が3つの不等式\(\;3x-5y\geq-16\;\),\(\;3x-y\leq4\;\),\(\;x+y\geq0\;\)を満たすとき、\(\;2x+5y\;\)の最大値および最小値を求めよ。
条件式が不等式のとき、2変数であれば領域を書くことができます！
まずは領域を書いていきましょう！！
2.f(x,y)=kと置く
最大最小を求める関数を\(\;k\;\)と置きます
\[\;2x+5y=k\;\]
3. 共有点を持つようなkの値の最大最小を求める
\(\;f(x,y)=k\;\)のグラフと領域\(\;D\;\)が共有点を持つような\(\;k\;\)の値の最大最小を求めます！
これは、何をしているでしょう？？
普通に\(\;2x+5y\;\)の最大を求めるには
領域内のすべての値を代入して、一番大きいのをとってこればいいんですが
それは現実的ではないですよね。
そこで次のように考えてみます
\(\;2x+5y=20\;\)となる\(\;(x,y)\;\)が存在するのか？
実際にやってみると
よって\(\;2x+5y=20\;\)となることはできました！
じゃあどんどん上の値を試してみましょう
\(\;2x+5y=40\;\)となる\(\;(x,y)\;\)が存在するのか？
実際にやってみると
\(\;2x+5y=40\;\)となる\(\;(x,y)\;\)は存在しませんね
じゃあどこまでなら存在するんでしょうか？
これを調べるために
いったん\(\;k\;\)でおいてみて、
ここから、\(\;(x,y)\;\)が存在する、つまり
この範囲で\(\;y= -\frac{2}{5}x+\frac{k}{5}\;\)を動かします
すると、\(\;k\;\)が最大になるのが
この時だとわかります！！
この時の\(\;k\;\)を求めると
ついでに最小も求めておくと
こうですね！
類題
類題を出します！ちょっとむずめ！
これらの問題が解けたら、線形計画法の最大最小の問題はばっちり！！
自信がなければもう一度Stepを見直そう！
<類題>
(1)\(\;x,y\;\)は実数とする。
\(\;x^2+y^2\leq10\;\),\(\;y\geq-2x+5\;\)のとき、\(\;x+y\;\)の最大値、最小値を求めよ
(2)\(\;2x-3y\geq-12,5x-9\leq9,x+5y\geq7\;\)のとき
\(\;x^2+y^2\;\)の最大値、最小値を求め、その時の\(\;x,y\;\)の値を求めよ
解説はこちらから
まとめ
ここまで読んだあなたは、線形計画法の最大最小の問題の解法が説明できますか？
- 不等式から領域\(\;D\;\)を図示
↓ - \(\;f(x,y)=k\;\)と置く
↓ - \(\;f(x,y)=k\;\)のグラフと領域\(\;D\;\)が共有点を持つような\(\;k\;\)の値の最大最小を求める
こうでしたね！
次線形計画法の最大最小の問題を見たときは一瞬で解いちゃってください！！
まとめ記事の紹介
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【条件式】2変数関数の最大最小まとめ
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